穴の開いた三角形

穴の開いた三角形です。

こちら<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#triangles>にある三角形のうち、解の総数が求められた3種類です。


<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#triangles>
・Triangle rings:

14-unit triangle with a central 5-unit triangle hole and 3 unit triangle holes (design by Johannes H. Hindriks):

179,124 Answers (considering rotations and reflections to be the same)


・Triangle hex rings:

(design by Johannes H. Hindriks)

979 Answers (considering rotations and reflections to be the same)



5,545,689 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

下の2つの解の数の差が非常に大きいですが、これは、3個の「小さな三角形」の穴(この小さな三角形の大きさを「単位三角形」、あるいは、「ユニット」と呼ぶことにします)によって、どこも高さ2段で構成されてしまっているからです。
よって、以前の考察と同じく、

なぜ解の数が少ないかといえば、上辺と下辺の高さが2段と非常に小さいからです。
2段では絶対に入らないピース(駒)がいくつもあるため、2段の場所に入るピースが限られてしまうのです。

という理由によるものと考えられます。

穴の開いた星型(続き)

穴の開いた星型の続きです。

こちら<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#hexagrams>に、穴の開いた星型が4種あります。
そのうち、最初のものは、初回<http://solvingthepuzzle.blog.so-net.ne.jp/2014-07-28>のものと同一(141,995個の解)ですので、他の3種について解を求めてみましょう。これら3つの解の数の順番を予想してみてください。

<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#hexagrams>
Hexagrams:


7,198 Answers (considering rotations and reflections to be the same)



291,276 Answers (considering rotations and reflections to be the same)



483 Answers (considering rotations and reflections to be the same)


数の多いものから、
  2番め、1番め、3番め
となりました。
3番めの解の数が483個とは、予想以上に少ないような気がします。
また、その理由が今のところよくわかりません。483個の解を眺めていれば、何か思いつくでしょうか。

穴の開いた平行四辺形

前々回が穴の開いた台形だったので、今回は、穴の開いた平行四辺形です。
そして、今回も解が少ないですが、その理由は前回と同じです。

64 Answers (considering rotations and reflections to be the same)



13,575 Answers (considering rotations and reflections to be the same)



417,161 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

穴あきの台形のときとは違って、解の数の増え方が不規則ですね。

雪の結晶

プラパズルNo.24がこちらのページ<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html>では「Snowflake」(雪の結晶)のひとつとして挙げられています。
では、残りの2つの形を見てみましょう。

<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#snowflakes>
Snowflake 2:


1,030,729 Answers (considering rotations and reflections to be the same)


<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#snowflakes>
Snowflake 3 (design by Johannes H. Hindriks):


1,478,340 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

いずれも100万通り以上です。

穴の開いた台形

今回は、解の数が少ないものです。

穴の開いた台形です。


68 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

さて、なぜ解の数が少ないかといえば、上辺と下辺の高さが2段と非常に小さいからです。
2段では絶対に入らないピース(駒)がいくつもあるため、2段の場所に入るピースが限られてしまうのです。

では、順に高さを増やしていくとどうなるでしょうか? 2段の場所が減っていきますので、解の数は増えるでしょう。


910 Answers (considering rotations and reflections to be the same)



14,535 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

解の数が約15倍ずつ増えているようです。

星型の穴をずらしてみる

前回の穴の開いた星型ですが、もし、穴の位置が中央からずれていたら、解の数はどうなるでしょうか?
対称性が減るため、解の数が増えるでしょうか? 調べてみましょう。

左へひとつずらしたものです。

3,131,579 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

前回の解の数が 141,995 でしたから、22倍の多さです。対称性の比較からすれば、6倍程度かと思ったのですが、それよりもかなり多いですね。

次は上へ2つずらしたものです。

2,707,984 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

これも19倍の多さです。左へひとつずらしたのと同じくらい多いですね。

では、今度は、左へ2つずらしてみましょう。


137,150 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

あれ、今度は、1倍くらいです。2つもずらしてしまうと、元の形からずいぶん変わってしまったためなのでしょうか。

最後に、上へ3つずらして(上へ2つずらして、斜め方向へ1つずらす)みましょう。


2,262,838 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

前回の解の数が 141,995 でしたから、約16倍です。対称性から考えると12倍なので、まぁそんなものなのかもしれません。でも、これは、「3つずらして元の形からずいぶん変わってしまっているにも関わらず」ですね。

ヘプティアモンド/ヘプチアモンド/ヘプタモンド/Heptiamond

コンピュータを使ってパズルを解こうとしています。

まずは、ヘプティアモンド／ヘプチアモンド／ヘプタモンド／Heptiamondから。テンヨーのプラパズルNo.24と言った方がわかりやすいでしょう。

そのパズルの解の数については、あまりにも多すぎて、ちょっと予測するのすら難しいので、「形」を変えてみましょう。

下のような穴あきの星型はいかがでしょう? これは、こちら<http://www.vicher.cz/puzzle/polyform/iamond/iamonds.htm> のサイトに掲載されていた「形」です。

ここで「解の数」とは、鏡像や回転などで同一になるものは同一として考えた場合の「数」です。

コンピュータによる結果は
141,995 Answers (considering rotations and reflections to be the same)
です。


私がHeptiamondについて、参考にさせて頂いているサイトは以下のとおりです。URLはサイト内のHeptiamondのページです。各トップページは左のリンクより参照ください。

• 「Polyform Puzzer」内 <http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html>
• 「Miroslav Vicher's Puzzles Pages」内 <http://www.vicher.cz/puzzle/polyform/iamond/iamonds.htm>
• 「ちょいとパズルでも」内 <http://puzzlewillbeplayed.com/Triangular/Heptiamonds/>
• 「The Poly Pages」内 <http://recmath.org/PolyPages/PolyPages/Heptipatts.htm>

パズルを解くプログラムとそれに必要な予備知識などはいずれそのうちに書こうと思います。
ここで使用しているアルゴリズムは、Knuth先生のDLX(Algorithm XのDancing Linksによる実装)です。
Heptiamondともなると、DLXでないと効率的に解けないでしょう。それでも前述の「解」を求めるのには3日ほどかかっています。