穴の開いた六角形(その5)

ギザギザな六角形(穴の開いた六角形のその5)です。

前回の続きです。
ギザギザな六角形が3種です。

<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#hexagons>
Jagged hexagons (designs from Johannes H. Hindriks):

1.

719,972 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

2.

30,511,236 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

3.

431,567 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

穴の開いた六角形(その4)

穴の開いた六角形のその4です。

前回の続きです。
次の5つ(13〜17番め)です。ここは、5つとも解が求まっています。
これで、穴の開いた六角形の17種は終了です。

<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#hexagons>
Regular 12-unit-high (side length 6) hexagons with holes of various shapes & sizes:

13.

5,793 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

14.

1,142 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

15.

6,003 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

16.

686 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

17.

226,522 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

次回は、ギザギザな六角形が3種です。

穴の開いた六角形(その3)

穴の開いた六角形のその3です。

前回の続きです。
次の4つ(9〜12番め)です。ここは、4つとも解が求まっています。

<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#hexagons>
Regular 12-unit-high (side length 6) hexagons with holes of various shapes & sizes:

9.

17,056,347 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

10.

35,623,320 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

11.

599,652 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

12.

121 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

穴の開いた六角形(その2)

穴の開いた六角形のその2です。

前回の続きです。
次の4つ(5〜8番め)ですが、2つしか計算できていません。
特に、7番めのものは、非常に解が多く、全解を求めることはできないでしょう。

<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#hexagons>
Regular 12-unit-high (side length 6) hexagons with holes of various shapes & sizes:

6.

25,446,444 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

8.

15,959,858 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

穴の開いた六角形(その1)

穴の開いた六角形のその1です。

こちら<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#hexagons>に、穴の開いた六角形が17種、他にギザギザな六角形が3種あります。
これから、何回かに分けて見ていきましょう。

<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#hexagons>
Regular 12-unit-high (side length 6) hexagons with holes of various shapes & sizes:

まず、最初の4つですが、3つまでしか計算できていません。

1.

1,734,457 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

2.

158,787,594 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

3.

19,488,749 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

4つ目はまだ計算中です。
結果が分かり次第、追加します。

最小高さの平行四辺形と未解決の問い2

台形と違って、平行四辺形の場合は最小の高さ3のものがあります。

これのコンピュータによる結果は
101,438 Answers (considering rotations and reflections to be the same)
です。
高さが最小の3だと解の数がかなり少ないようです。


さて、高さ3の台形が不可能であることは前々回に触れました。
しかし、たとえば、3つのユニットを足して、次のような形にすれば、「欠けた台形」になります。

これは
232,134 Answers (considering rotations and reflections to be the same)
となります。

では、例えば、下のように台形の中央部に「穴があいた台形」ではどうでしょうか?

穴の位置は、いずれも、台形の中央部(下の図の赤と緑の三角形があるところ)のどれかとします。
2つ、あるいは、3つが隣あって、穴が2つ、あるいは、1つでも構いません。



これをコンピュータで探索しているのですが、10%弱程度チェックが終了したものの、解が見つかっていません。
そこで、

未解決の問い 2:
上記の穴の空いた台形の解はいくつあるでしょうか? 解は存在しないのでしょうか?
解が存在しない場合、理由の簡単な説明ができるでしょうか?

これも結果が分かったときに報告します。
先に「理由の簡単な説明」が見つかれば、よいのですが…。

高さ4の平行四辺形と未解決の問い1

今回は、「未解決の問い 1」です。
前回の「高さ4の台形」を変形した「高さ4の平行四辺形」です。



まだこの全解は求められていません。おそらく4〜6ヶ月くらいかかるでしょう。

ということで、

未解決の問い 1:　どちらがどれだけ解が多いでしょうか? またその理由は?

私の予想は次のとおり。

こちらの方が多い。ほとんど参考にならないが、穴あきの台形と平行四辺形の結果から。

はてさて、結果は如何に。
結果がわかったときには報告します。

一番高さの小さい台形

次はこの「形」です。
高さ3の台形は作れません(試してみればわかります。3ユニット余る/足りないのです)。
ですので、高さ4の台形が、台形で高さの一番小さいものとなります。



コンピュータによる結果は
2,058,918,339 Answers (considering rotations and reflections to be the same)
です。

これは実はとんでもない時間かかっています。分散処理して累計で約6.7年です。なので、解の数が間違っていたら目も当てられません(笑)。

次に背の高い台形は、高さが6となります。解の数はおそらくこの100〜1000倍くらいではないでしょうか。

穴の開いた三角形

穴の開いた三角形です。

こちら<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#triangles>にある三角形のうち、解の総数が求められた3種類です。


<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#triangles>
・Triangle rings:

14-unit triangle with a central 5-unit triangle hole and 3 unit triangle holes (design by Johannes H. Hindriks):

179,124 Answers (considering rotations and reflections to be the same)


・Triangle hex rings:

(design by Johannes H. Hindriks)

979 Answers (considering rotations and reflections to be the same)



5,545,689 Answers (considering rotations and reflections to be the same)

下の2つの解の数の差が非常に大きいですが、これは、3個の「小さな三角形」の穴(この小さな三角形の大きさを「単位三角形」、あるいは、「ユニット」と呼ぶことにします)によって、どこも高さ2段で構成されてしまっているからです。
よって、以前の考察と同じく、

なぜ解の数が少ないかといえば、上辺と下辺の高さが2段と非常に小さいからです。
2段では絶対に入らないピース(駒)がいくつもあるため、2段の場所に入るピースが限られてしまうのです。

という理由によるものと考えられます。

穴の開いた星型(続き)

穴の開いた星型の続きです。

こちら<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#hexagrams>に、穴の開いた星型が4種あります。
そのうち、最初のものは、初回<http://solvingthepuzzle.blog.so-net.ne.jp/2014-07-28>のものと同一(141,995個の解)ですので、他の3種について解を求めてみましょう。これら3つの解の数の順番を予想してみてください。

<http://puzzler.sourceforge.net/docs/heptiamonds.html#hexagrams>
Hexagrams:


7,198 Answers (considering rotations and reflections to be the same)



291,276 Answers (considering rotations and reflections to be the same)



483 Answers (considering rotations and reflections to be the same)


数の多いものから、
  2番め、1番め、3番め
となりました。
3番めの解の数が483個とは、予想以上に少ないような気がします。
また、その理由が今のところよくわかりません。483個の解を眺めていれば、何か思いつくでしょうか。